Phase shift moving average filter

Resposta de Freqüência do Filtro de Média Corrente A resposta de freqüência de um sistema LTI é a DTFT da resposta de impulso. A resposta de impulso de uma média móvel de L é uma média móvel. Uma vez que o filtro de média móvel é FIR, a resposta de freqüência reduz-se à soma finita We Pode usar a identidade muito útil para escrever a resposta de freqüência como onde temos deixar ae menos jomega. N 0 e M L menos 1. Podemos estar interessados ​​na magnitude desta função para determinar quais freqüências passam pelo filtro sem atenuação e quais são atenuadas. Abaixo está um gráfico da magnitude desta função para L 4 (vermelho), 8 (verde) e 16 (azul). O eixo horizontal varia de zero a pi radianos por amostra. Observe que, em todos os três casos, a resposta de freqüência tem uma característica de passagem baixa. Uma componente constante (frequência zero) na entrada passa através do filtro sem ser atenuada. Certas frequências mais elevadas, como pi / 2, são completamente eliminadas pelo filtro. No entanto, se a intenção era projetar um filtro lowpass, então não temos feito muito bem. Algumas das frequências mais altas são atenuadas apenas por um factor de cerca de 1/10 (para a média móvel de 16 pontos) ou 1/3 (para a média móvel de quatro pontos). Podemos fazer muito melhor do que isso. O gráfico acima foi criado pelo seguinte código de Matlab: omega 0: pi / 400: pi H4 (1/4) (1-exp (-iomega4)) ./ (1-exp (-iomega)) H8 (1/8 ) (1-exp (-iomega8)) ./ (1-exp (-iomega)) lote (omega , Abs (H4) abs (H8) abs (H16)) eixo (0, pi, 0, 1) Copyright copy 2000- - Universidade da Califórnia, BerkeleyThe Scientist e Engineers Guide to Digital Signal Processing Por Steven W. Smith, D. Capítulo 19: Filtros Recursivos Há três tipos de resposta de fase que um filtro pode ter: fase zero. Fase linear. E fase não linear. Um exemplo de cada um destes é mostrado na Figura 19-7. Conforme ilustrado em (a), o filtro de fase zero é caracterizado por uma resposta ao impulso que é simétrica em torno da amostra zero. A forma real não importa, apenas que as amostras numeradas negativas são uma imagem espelhada das amostras numeradas positivas. Quando a transformada de Fourier é tomada desta forma de onda simétrica, a fase será inteiramente zero, como mostrado em (b). A desvantagem do filtro de fase zero é que requer o uso de índices negativos, o que pode ser inconveniente trabalhar com. O filtro de fase linear é uma maneira de contornar isso. A resposta ao impulso em (d) é idêntica à mostrada em (a), excepto que foi deslocada para utilizar apenas amostras positivas numeradas. A resposta ao impulso ainda é simétrica entre a esquerda e a direita, no entanto, a localização da simetria foi deslocada de zero. Esta mudança resulta na fase, (e), sendo uma linha reta. Representando o nome: fase linear. A inclinação desta linha reta é diretamente proporcional à quantidade da mudança. Uma vez que a mudança na resposta ao impulso não produz nada, mas produz uma mudança idêntica no sinal de saída, o filtro de fase linear é equivalente ao filtro de fase zero para a maioria dos propósitos. A figura (g) mostra uma resposta de impulso que não é simétrica entre a esquerda e a direita. Correspondentemente, a fase, (h), não é uma linha reta. Por outras palavras, tem uma fase não linear. Não confunda os termos: fase não-linear e linear com o conceito de linearidade do sistema discutido no Capítulo 5. Embora ambos usem a palavra linear. Eles não estão relacionados. Por que alguém se importa se a fase é linear ou não As figuras (c), (f) e (i) mostram a resposta. Estas são as respostas de pulso de cada um dos três filtros. A resposta de pulso não é mais do que uma resposta positiva de passo em andamento, seguida de uma resposta de passo negativa. A resposta de pulso é usada aqui porque exibe o que acontece com as bordas ascendentes e descendentes em um sinal. Aqui está a parte importante: os filtros de fase zero e linear têm bordas esquerda e direita que parecem iguais. Enquanto filtros de fase não-lineares têm bordas esquerda e direita que parecem diferentes. Muitas aplicações não podem tolerar as bordas esquerda e direita procurando diferente. Um exemplo é a exibição de um osciloscópio, onde essa diferença pode ser mal interpretada como uma característica do sinal que está sendo medido. Outro exemplo é o processamento de vídeo. Você pode imaginar ligar sua TV para encontrar a orelha esquerda de seu ator favorito procurando diferente de sua orelha direita É fácil fazer um filtro FIR (resposta de impulso finito) tem uma fase linear. Isso ocorre porque a resposta ao impulso (kernel do filtro) é especificada diretamente no processo de design. Fazer com que o kernel do filtro tenha simetria esquerda-direita é tudo o que é necessário. Este não é o caso com os filtros IIR (recursivos), uma vez que os coeficientes de recursão são o que é especificado, e não a resposta ao impulso. A resposta de impulso de um filtro recursivo não é simétrica entre a esquerda e a direita e, portanto, tem uma fase não linear. Os circuitos eletrônicos analógicos têm esse mesmo problema com a resposta de fase. Imagine um circuito composto de resistores e capacitores sentados em sua mesa. Se a entrada sempre foi zero, a saída também terá sido sempre zero. Quando um impulso é aplicado à entrada, os capacitores carregam rapidamente para algum valor e então começam a decrescer exponencialmente através dos resistores. A resposta ao impulso (isto é, o sinal de saída) é uma combinação destas várias exponenciais decrescentes. A resposta ao impulso não pode ser simétrica, pois a saída era zero antes do impulso e a decomposição exponencial nunca atinge novamente o valor zero. Criadores de filtros analógicos atacam este problema com o filtro Bessel. Apresentado no Capítulo 3. O filtro Bessel é projetado para ter como fase linear possível, no entanto, está muito abaixo do desempenho dos filtros digitais. A capacidade de fornecer uma fase linear exata é uma clara vantagem dos filtros digitais. Felizmente, existe uma maneira simples de modificar filtros recursivos para obter uma fase zero. A Figura 19-8 mostra um exemplo de como isso funciona. O sinal de entrada a ser filtrado é mostrado em (a). A Figura (b) mostra o sinal depois de ter sido filtrado por um filtro de passa-baixa de um pólo. Como este é um filtro de fase não-linear, as bordas esquerda e direita não parecem iguais, são versões invertidas umas das outras. Conforme descrito anteriormente, este filtro recursivo é implementado começando na amostra 0 e trabalhando em direcção à amostra 150, calculando cada amostra ao longo do caminho. Agora, suponha que em vez de se mover da amostra 0 para a amostra 150, começamos na amostra 150 e nos movemos para a amostra 0. Em outras palavras, cada amostra no sinal de saída é calculada a partir de amostras de entrada e saída à direita da amostra sendo trabalhada em. Isto significa que a equação de recursão, Eq. 19-1, é alterado para: A figura (c) mostra o resultado desta filtragem inversa. Isto é análogo a passar um sinal analógico através de um circuito eletrônico de RC ao tempo de funcionamento para trás. Filtragem no sentido inverso não produz qualquer benefício em si mesmo o sinal filtrado ainda tem bordas esquerda e direita que não se parecem. A magia acontece quando a filtragem para frente e para trás é combinada. A Figura (d) resulta da filtragem do sinal na direcção de avanço e depois filtragem novamente na direcção inversa. Voila Isso produz um filtro recursivo de fase zero. De fato, qualquer filtro recursivo pode ser convertido em fase zero com esta técnica de filtragem bidirecional. A única penalidade para este desempenho melhorado é um fator de dois no tempo de execução e na complexidade do programa. Como você encontra as respostas de impulso e freqüência do filtro geral A magnitude da resposta de freqüência é a mesma para cada direção, enquanto as fases são opostas no sinal. Quando as duas direções são combinadas, a magnitude torna-se quadrada. Enquanto a fase cancela para zero. No domínio do tempo, isto corresponde à convolução da resposta de impulso original com uma versão invertida da esquerda para a direita de si mesma. Por exemplo, a resposta de impulso de um filtro passa-baixa de um único pólo é uma exponencial unilateral. A resposta ao impulso do filtro bidirecional correspondente é uma exponencial unilateral que se decompõe para a direita, convertida com uma exponencial unilateral que decai para a esquerda. Passando pela matemática, isso acaba por ser uma exponencial de dupla face que decai tanto para a esquerda quanto para a direita, com a mesma constante de decaimento que o filtro original. Algumas aplicações apenas têm uma parte do sinal no computador em um determinado momento, como sistemas que alternadamente entrada e saída de dados em uma base contínua. A filtragem bidireccional pode ser usada nestes casos combinando-a com o método de sobreposição-adição descrito no último capítulo. Quando você chega à questão de quanto tempo a resposta ao impulso é, não diga infinito. Se você fizer isso, você precisará preencher cada segmento de sinal com um número infinito de zeros. Lembre-se de que a resposta ao impulso pode ser truncada quando se decompõe abaixo do nível de ruído de arredondamento, isto é, cerca de 15 a 20 constantes de tempo. Cada segmento terá de ser preenchido com zeros tanto à esquerda como à direita para permitir a expansão durante a filtragem bidirecional. O cientista e engenheiros guia para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Se uma transformação no domínio do tempo resulta em: xns 8596 MagX f amp Fase X f 2pi sf (em que f é expressa como uma fração Da taxa de amostragem, correndo entre 0 e 0,5). Em palavras, uma mudança de s amostras no domínio do tempo deixa a magnitude inalterada, mas acrescenta um termo linear para a fase, 2960 sf. Vejamos um exemplo de como isso funciona. A Figura 10-3 mostra como a fase é afetada quando a forma de onda do domínio do tempo é deslocada para a esquerda ou para a direita. A magnitude não foi incluída nesta ilustração porque não é interessante que não seja alterada pelo deslocamento do domínio do tempo. Nas Figs. (A) a (d), a forma de onda é gradualmente deslocada de ter o pico centrado na amostra 128, para tê-lo centrado na amostra 0. Esta sequência de gráficos leva em conta que a DFT vê o domínio do tempo como circular quando partes do Saída da forma de onda para a direita, reaparecem à esquerda. A forma de onda do domínio do tempo na Fig. 10-3 é simétrico em torno de um eixo vertical, isto é, os lados esquerdo e direito são imagens espelhadas um do outro. Como mencionado no Capítulo 7, os sinais com este tipo de simetria são chamados de fase linear. Porque a fase de seu espectro de freqüência é uma linha reta. Da mesma forma, os sinais que não têm essa simetria esquerda-direita são chamados fase não-linear. E têm fases que são algo diferente de uma linha reta. As figuras (e) até (h) mostram a fase dos sinais de (a) a (d). Conforme descrito no Capítulo 7, estes sinais de fase são desempacotados. Permitindo que eles apareçam sem as descontinuidades associadas à manutenção do valor entre 960 e -960. Quando a forma de onda do domínio do tempo é deslocada para a direita, a fase permanece uma linha reta, mas experimenta uma diminuição na inclinação. Quando o domínio do tempo é deslocado para a esquerda, há um aumento na inclinação. Esta é a principal propriedade que você precisa lembrar a partir desta seção uma mudança no domínio do tempo corresponde à mudança da inclinação da fase. As figuras (b) e (f) exibem um caso único em que a fase é inteiramente nula. Isto ocorre quando o sinal do domínio do tempo é simétrico em torno da amostra zero. À primeira vista, esta simetria pode não ser óbvia em (b) pode parecer que o sinal é simétrico em torno da amostra 256 (i. e. N / 2) em vez disso. Lembre-se de que o DFT visualiza o domínio do tempo como circular, com o zero da amostra inerentemente conectado à amostra N-1. Qualquer sinal que seja simétrico em torno da amostra zero também será simétrico em torno da amostra N / 2 e vice-versa. Ao usar membros da família de Transformada de Fourier que não visualizam o domínio do tempo como periódico (como o DTFT), a simetria deve estar em torno da amostra zero para produzir uma fase zero. As figuras (d) e (h) mostram algo de um enigma. Primeiro imagine que (d) foi formado deslocando a forma de onda em (c) um pouco mais para a direita. Isto significa que a fase em (h) teria uma inclinação ligeiramente mais negativa do que em (g). Esta fase é mostrada como linha 1. Em seguida, imagine que (d) foi formado começando com (a) e deslocando-o para a esquerda. Neste caso, a fase deve ter uma inclinação ligeiramente mais positiva do que (e), como é ilustrado pela linha 2. Por último, note que (d) é simétrico em torno da amostra N / 2 e deve, portanto, ter uma fase zero, conforme ilustrado Pela linha 3. Qual dessas três fases está correta Todas elas são, dependendo de como as ambigüidades de fase 960 e 2960 (discutidas no Capítulo 8) são organizadas. Por exemplo, cada amostra na linha 2 difere da amostra correspondente na linha 1 por um número inteiro múltiplo de 2960, tornando-os iguais. Para relacionar a linha 3 com as linhas 1 e 2, as 960 ambigüidades também devem ser levadas em consideração. Para entender por que a fase se comporta como ela faz, imagine deslocando uma forma de onda por uma amostra para a direita. Isso significa que todos os sinusóides que compõem a forma de onda também devem ser deslocados por uma amostra para a direita. A Figura 10-4 mostra duas sinusoides que podem ser uma parte da forma de onda. Em (a), a onda senoidal tem uma frequência muito baixa, e um deslocamento de uma amostra é apenas uma pequena fração de um ciclo completo. Em (b), a sinusoide tem uma freqüência de metade da taxa de amostragem, a freqüência mais alta que pode existir em dados amostrados. Um deslocamento de uma amostra nesta frequência é igual a um ciclo completo de 1/2, ou 960 radianos. Isto é, quando uma mudança é expressa em termos de uma mudança de fase, torna-se proporcional à frequência da sinusoide sendo deslocada. Por exemplo, considere uma forma de onda que é simétrica em torno da amostra zero e, portanto, tem uma fase zero. A Figura 10-5a mostra como a fase deste sinal muda quando é deslocada para a esquerda ou para a direita. Na freqüência mais alta, metade da taxa de amostragem, a fase aumenta em 960 para cada uma mudança de amostra para a esquerda e diminui em 960 para cada turno de amostra para a direita. Na freqüência zero não há desvio de fase, e todas as freqüências entre seguem em uma linha reta. Todos os exemplos que usamos até agora são fase linear. A Figura 10-5b mostra que os sinais de fase não-linear reagem ao deslocamento da mesma maneira. Neste exemplo, a fase não linear é uma linha reta com dois impulsos retangulares. Quando o domínio de tempo é deslocado, estas características não-lineares são simplesmente sobrepostas na inclinação de mudança. O que acontece nas partes real e imaginária quando a forma de onda do domínio do tempo é deslocada Lembre-se que os sinais de domínio de freqüência em notação retangular são quase impossíveis para os seres humanos entenderem. As partes reais e imaginárias normalmente parecem as oscilações aleatórias sem padrão aparente. Quando o sinal do domínio do tempo é deslocado, os padrões ondulados das partes real e imaginária se tornam ainda mais oscilantes e difíceis de interpretar. Não desperdice o seu tempo tentando entender esses sinais, ou como eles são alterados pelo domínio do tempo deslocando. A Figura 10-6 é uma demonstração interessante das informações contidas na fase. E que informações estão contidas na magnitude. A forma de onda em (a) tem duas características muito distintas: uma borda ascendente na amostra número 55 e uma borda descendente na amostra número 110. As bordas são muito importantes quando a informação é codificada na forma de uma forma de onda. Uma borda indica quando algo acontece, dividindo o que está à esquerda de tudo o que está à direita. É informações codificadas no domínio do tempo na sua forma mais pura. Para começar a demonstração, o DFT é tomado do sinal em (a), eo espectro de freqüência convertido em notação polar. Para encontrar o sinal em (b), a fase é substituída por números aleatórios entre -960 e 960, ea DFT inversa usada para reconstruir a forma de onda do domínio do tempo. Em outras palavras, (b) baseia-se apenas nas informações contidas na magnitude. De modo semelhante, (c) é encontrado substituindo a magnitude por pequenos números aleatórios antes de usar a DFT inversa. Isto torna a reconstrução de (c) baseada unicamente nas informações contidas na fase. O resultado A localização das arestas está claramente presente em (c), mas totalmente ausente em (b). Isso ocorre porque uma aresta é formada quando muitos sinusóides sobem no mesmo local, possível somente quando suas fases são coordenadas. Em resumo, grande parte da informação sobre a forma da forma de onda do domínio do tempo está contida na fase. Em vez da magnitude. Isto pode ser contrastado com sinais que têm as suas informações codificadas no domínio da frequência, tais como sinais de áudio. A magnitude é a mais importante para estes sinais, com a fase que joga somente um papel menor. Em capítulos posteriores veremos que esse tipo de compreensão fornece estratégias para projetar filtros e outros métodos de processamento de sinais. Entender como a informação é representada nos sinais é sempre o primeiro passo no DSP bem sucedido. Por que a simetria esquerda-direita corresponde a uma fase zero (ou linear)? A Figura 10-7 fornece a resposta. Tal sinal pode ser decomposto em uma metade esquerda e uma metade direita, como mostrado em (a), (b) e (c). A amostra no centro de simetria (zero neste caso) é dividida igualmente entre as metades esquerda e direita, permitindo que os dois lados sejam imagens espelhadas perfeitas um do outro. As magnitudes destas duas metades serão idênticas. Como mostrado em (e) e (f), enquanto as fases serão opostas no sinal, como em (h) e (i). Dois conceitos importantes caem fora disto. Primeiro, cada sinal que é simétrico entre a esquerda e a direita terá uma fase linear porque a fase não-linear da metade esquerda cancela exatamente a fase não-linear da metade direita. Em segundo lugar, imagine lançando (b) tal que se torna (c). Este flip esquerdo-direito no domínio do tempo não faz nada à magnitude, mas muda o sinal de cada ponto na fase. Da mesma forma, alterar o sinal da fase inverte o sinal do domínio do tempo para a esquerda para a direita. Se os sinais são contínuos, o flip é em torno de zero. Se os sinais são discretos, o flip é em torno da amostra zero e da amostra N / 2, simultaneamente. Mudar o sinal da fase é uma operação bastante comum que é dado o seu próprio nome e símbolo. O nome é conjugação complexa. E é representado colocando uma estrela no canto superior direito da variável. Por exemplo, se X f for MagX f e PhaseX f, então X f é chamado de conjugado complexo e é composto de MagX f e - PhaseX f. Na notação retangular, o conjugado complexo é encontrado deixando a parte real sozinha, e mudando o signo da parte imaginária. Em termos matemáticos, se X f é composto por ReX f e ImX f, então X f é composto por ReX f e - ImX f. Aqui estão vários exemplos de como o conjugado complexo é usado no DSP. Se x n tem uma transformada de Fourier de X f, então x - n tem uma transformada de Fourier de X 8727 f. Em palavras, lançar o domínio do tempo para a esquerda para a direita corresponde a mudar o sinal da fase. Como outro exemplo, lembre do Capítulo 7 que a correlação pode ser realizada como uma convolução. Isso é feito movendo um dos sinais para a esquerda para a direita. Na forma matemática, a n b n é convolução, enquanto a n b - n é correlação. No domínio da frequência estas operações correspondem a A f vezes B f e A f vezes B f, respectivamente. Como último exemplo, considere um sinal arbitrário, x n, e seu espectro de freqüência, X f. O espectro de freqüência pode ser mudado para fase zero multiplicando-o pelo seu conjugado complexo, ou seja, X f vezes X f. Em palavras, qualquer fase X f que acontece ter será cancelada adicionando seu oposto (lembre-se, quando os espectros de freqüência são multiplicados, suas fases são adicionadas). No domínio do tempo, isso significa que x n x - n (um sinal convoluído com uma versão de esquerda para a direita) terá simetria esquerda-direita em torno da amostra zero, independentemente do que x n seja. Para muitos engenheiros e matemáticos, esse tipo de manipulação é DSP. Se você quiser ser capaz de se comunicar com esse grupo, acostume-se a usar seus filtros language. FIR, filtros IIR e equação de diferença de coeficiente constante linear Filtros de média móvel causal (FIR) Nós discutimos sistemas em que cada amostra da saída É uma soma ponderada de (algumas das) amostras da entrada. Vamos tomar um sistema de soma ponderada causal, onde causal significa que uma dada amostra de saída depende apenas da amostra de entrada atual e outros insumos mais cedo na seqüência. Nem os sistemas lineares em geral, nem os sistemas finitos de resposta ao impulso em particular, precisam ser causais. No entanto, a causalidade é conveniente para um tipo de análise que iria explorar em breve. Se simbolizamos as entradas como valores de um vetor x. E as saídas como valores correspondentes de um vetor y. Então tal sistema pode ser escrito como onde os valores de b são quotweights aplicados às amostras de entrada atuais e anteriores para obter a amostra de saída atual. Podemos pensar na expressão como uma equação, com o sinal de igual signo igual a, ou como uma instrução processual, com o sinal de igual significação atribuição. Vamos escrever a expressão para cada amostra de saída como um loop MATLAB de instruções de atribuição, onde x é um vetor N-comprimento de amostras de entrada, e b é um vetor M-comprimento de pesos. A fim de lidar com o caso especial no início, vamos incorporar x em um vetor mais longo xhat cujas primeiras M-1 amostras são zero. Vamos escrever a soma ponderada para cada y (n) como um produto interno, e faremos algumas manipulações das entradas (como inverter b) para este fim. Esse tipo de sistema é muitas vezes chamado de filtro de média móvel, por razões óbvias. De nossas discussões anteriores, deve ser óbvio que tal sistema é linear e invariante ao deslocamento. Claro, seria muito mais rápido usar a convolução de função MATLAB conv () em vez do nosso mafilt (). Em vez de considerar as primeiras M-1 amostras da entrada de ser zero, poderíamos considerá-los a ser o mesmo que as últimas M-1 amostras. Isso é o mesmo que tratar a entrada como periódica. Bem, use cmafilt () como o nome da função, uma pequena modificação da função mafilt () anterior. Na determinação da resposta de impulso de um sistema, não há geralmente nenhuma diferença entre estes dois, desde que todas as amostras não-iniciais da entrada são zero: Uma vez que um sistema deste tipo é linear e shift-invariante, sabemos que seu efeito em qualquer Sinusoid será apenas a escala e deslocá-lo. Aqui é importante que usemos a versão circular A versão circularmente convoluta é deslocada e escalada um pouco, enquanto a versão com convolução ordinária é distorcida no início. Vamos ver o que a escala exata e deslocamento é usando um fft: Tanto a entrada ea saída têm amplitude apenas nas freqüências 1 e -1, que é como deveria ser, uma vez que a entrada era uma sinusoid eo sistema era linear. Os valores de saída são maiores em uma proporção de 10,6251 / 8 1,3281. Este é o ganho do sistema. E quanto à fase Nós só precisamos olhar onde a amplitude é diferente de zero: A entrada tem uma fase de pi / 2, como nós pedimos. A fase de saída é deslocada por um 1,0594 adicional (com sinal oposto para a freqüência negativa), ou cerca de 1/6 de um ciclo à direita, como podemos ver no gráfico. Agora vamos tentar uma sinusoid com a mesma freqüência (1), mas em vez de amplitude 1 e fase pi / 2, vamos tentar amplitude 1,5 e fase 0. Sabemos que apenas a freqüência 1 e -1 terá amplitude não-zero, então vamos Basta olhar para eles: Novamente a relação de amplitude (15.9377 / 12.0000) é 1.3281 - e quanto à fase é novamente deslocado por 1.0594 Se esses exemplos são típicos, podemos prever o efeito do nosso sistema (resposta ao impulso .1.2 .3 .4 .5) em qualquer sinusoide com frequência 1 - a amplitude será aumentada em um fator de 1,3281 e a fase (freqüência positiva) será deslocada em 1,0594. Poderíamos continuar a calcular o efeito desse sistema sobre sinusóides de outras freqüências pelos mesmos métodos. Mas há uma maneira muito mais simples, e uma que estabelece o ponto geral. Dado que a circunvolução (circular) no domínio do tempo significa a multiplicação no domínio da frequência, daí decorre que, por outras palavras, a DFT da resposta de impulso é a razão da DFT da saída para a DFT da entrada. Nesta relação os coeficientes de DFT são números complexos. Desde abs (c1 / c2) abs (c1) / abs (c2) para todos os números complexos c1, c2, esta equação nos diz que o espectro de amplitude da resposta de impulso será sempre a relação do espectro de amplitude da saída para que Da entrada. No caso do espectro de fase, ângulo (c1 / c2) ângulo (c1) - ângulo (c2) para todos os c1, c2 (com a ressalva de que as fases que diferem por n2pi são considerados iguais). Portanto, o espectro de fase da resposta ao impulso será sempre a diferença entre os espectros de fase da saída e da entrada (com quaisquer correções de 2pi são necessárias para manter o resultado entre - pi e pi). Podemos ver os efeitos de fase mais claramente se desempacotar a representação da fase, isto é, se adicionarmos vários múltiplos de 2pi conforme necessário para minimizar os saltos que são produzidos pela natureza periódica da função ângulo (). Embora a amplitude e a fase sejam normalmente utilizadas para apresentação gráfica e mesmo tabular, uma vez que são uma maneira intuitiva de pensar sobre os efeitos de um sistema sobre os vários componentes de frequência de sua entrada, os coeficientes de Fourier complexos são mais úteis algébricamente, A expressão simples da relação A abordagem geral que acabamos de ver funcionará com filtros arbitrários do tipo esboçado, em que cada amostra de saída é uma soma ponderada de algum conjunto de amostras de entrada. Como mencionado anteriormente, estes são freqüentemente chamados filtros de resposta de impulso finito, porque a resposta ao impulso é de tamanho finito, ou às vezes filtros de média móvel. Podemos determinar as características de resposta de freqüência de tal filtro da FFT de sua resposta de impulso e também podemos projetar novos filtros com características desejadas por IFFT a partir de uma especificação da resposta de freqüência. Filtros Autoregressivos (IIR) Não haveria nenhum ponto em ter nomes para filtros FIR a menos que houvesse algum outro tipo de distinção, de modo que aqueles que estudaram pragmática não ficarão surpresos ao saber que existe de fato outro tipo principal Do filtro tempo-invariante linear. Estes filtros são às vezes chamados recursivos porque o valor das saídas anteriores (assim como entradas anteriores) importa, embora os algoritmos sejam geralmente escritos usando construções iterativas. Eles também são chamados filtros Infinite Impulse Response (IIR), porque em geral sua resposta a um impulso continua para sempre. Eles também são às vezes chamados de filtros auto-regressivos, porque os coeficientes podem ser considerados como o resultado de fazer uma regressão linear para expressar valores de sinal em função de valores de sinal anteriores. A relação dos filtros FIR e IIR pode ser vista claramente numa equação de diferença de coeficiente constante linear, isto é, estabelecendo uma soma ponderada de saídas igual a uma soma ponderada de entradas. Isto é como a equação que damos anteriormente para o filtro causal FIR, exceto que, além da soma ponderada de insumos, também temos uma soma ponderada de saídas. Se quisermos pensar nisso como um procedimento para gerar amostras de saída, precisamos reorganizar a equação para obter uma expressão para a amostra de saída corrente y (n), Adotando a convenção de que a (1) 1 (por exemplo, escalando outros como E bs), podemos nos livrar do termo 1 / a (1): y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). B (Nb1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - a (Na1) y (n-na) Se todos os a (n) diferentes de a (1) são zero, isso reduz a nosso velho amigo o filtro FIR causal. Este é o caso geral de um filtro (causal) LTI, e é implementado pelo filtro de função MATLAB. Vejamos o caso em que os coeficientes b diferentes de b (1) são zero (em vez do caso FIR, onde a (n) são zero): Neste caso, a amostra de saída corrente y (n) é calculada como um (N-1), y (n-2), etc. Para ter uma idéia do que acontece com esses filtros, vamos começar com o caso em que: Ou seja, a amostra de saída atual é a soma da amostra de entrada atual e metade da amostra de saída anterior. Bem, tome um impulso de entrada através de alguns passos de tempo, um de cada vez. Deve ficar claro neste ponto que podemos facilmente escrever uma expressão para o n-ésimo valor de amostra de saída: é apenas (se MATLAB contado a partir de 0, isso seria simplesmente .5n). Como o que estamos calculando é a resposta ao impulso do sistema, demonstrámos por exemplo que a resposta ao impulso pode de fato ter infinitas amostras diferentes de zero. Para implementar esse filtro trivial de primeira ordem no MATLAB, poderíamos usar o filtro. A chamada será assim: eo resultado é: Este negócio é realmente ainda linear Podemos olhar para isto empiricamente: Para uma abordagem mais geral, considere o valor de uma amostra de saída y (n). Por substituição sucessiva poderíamos escrever isto como Isto é exatamente como nosso velho amigo a forma convolução-soma de um filtro FIR, com a resposta de impulso fornecida pela expressão .5k. E o comprimento da resposta ao impulso é infinito. Assim, os mesmos argumentos que usamos para mostrar que os filtros FIR eram lineares agora se aplicam aqui. Até agora isso pode parecer um monte de barulho por não muito. O que é toda esta linha de investigação bom para Bem responder esta questão em etapas, começando com um exemplo. Não é uma grande surpresa que possamos calcular uma amostra exponencial por multiplicação recursiva. Vamos olhar para um filtro recursivo que faz algo menos óbvio. Este tempo bem torná-lo um filtro de segunda ordem, de modo que a chamada para filtro será da forma Permite definir o segundo coeficiente de saída a2 para -2cos (2pi / 40), eo terceiro coeficiente de saída a3 para 1, e olhar para A resposta ao impulso. Não muito útil como um filtro, na verdade, mas ele gera uma onda senoidal amostrada (de um impulso) com três multiplicações por amostra. Para entender como e por que ele faz isso, e como os filtros recursivos podem ser projetados e analisados ​​em O caso mais geral, precisamos dar um passo atrás e dar uma olhada em algumas outras propriedades de números complexos, no caminho para a compreensão da transformada z. Moving médias Mudança de fase é a diferença na detecção de pontos de viragem entre dados originais e suavizados. Este efeito é um inconveniente, uma vez que provoca um atraso na detecção dos pontos de viragem da série temporal, especialmente no período mais actual. As médias móveis simétricas centradas são resistentes a este efeito. No entanto, no final (e no início) de séries temporais série simétrica série não pode ser usado. Para calcular os valores suavizados nas duas extremidades das séries temporais é utilizado o filtro assimétrico, porém causam o efeito de fase. Tags / Keywords: Você pode clicar e arrastar na área de traçado para ampliar Você pode mouse sobre pontos de dados para ver o valor real que é representado graficamente Se houver uma caixa de legenda, clique no nome da série para esconder / mostrar Introdução Médias móveis São médias aritméticas aplicadas a intervalos de tempo sucessivos de comprimento fixo da série. Quando aplicados à série temporal original, eles produzem uma série de valores médios. A fórmula geral para a média móvel M de coeficientes é: Os coeficientes das médias móveis são chamados de pesos. A quantidade p f 1 é a ordem média móvel. A média móvel é chamada centrada se o número de observações no passado é igual ao número de observação no futuro (isto é, se p é igual a f). As médias móveis substituem a série temporal original por médias ponderadas dos valores correntes, p observações anteriores à observação corrente e f observações após a observação corrente. Eles são usados ​​para suavizar a série de tempo original. Exemplo A tabela apresenta o número de passageiros transportados por via aérea reportados pela Finlândia em 2001. Os mesmos dados são apresentados no gráfico: Tipos de médias móveis Com base nos padrões de ponderação, as médias móveis podem ser: Simétrico o padrão de pesagem utilizado para calcular a movimentação Média é simétrica em relação ao ponto de dados de destino. Por meio de médias móveis simétricas não é possível obter os valores suavizados para as primeiras p e últimas p observações (para médias móveis simétricas pf). Exemplo Asimétrico o padrão de pesagem utilizado para calcular médias móveis não é simétrico em relação ao ponto de destino. Exemplo As médias móveis também podem ser classificadas de acordo com sua contribuição ao valor final como: médias móveis simples, isto é, médias móveis para as quais todos os pesos são iguais No caso de médias móveis simples, todas as observações contribuem igualmente para o valor final. Escusado será dizer que todas as médias móveis simples são simétricas. Formalmente, para a média móvel simétrica de ordem P 2p 1 todos os pesos são iguais a 1 / P. Exemplo A figura abaixo compara o grau de suavização obtido aplicando médias móveis simples de 3 e 7 termos. As observações extremas (por exemplo, abril de 2010 ou junho de 2017) têm menor impacto sobre a média móvel mais longa do que sobre a mais curta. Médias móveis não simples, isto é, médias móveis para as quais todos os pesos não são iguais. Os casos especiais de médias móveis não-simples são: Médias móveis compostas, que é obtido compondo uma média móvel simples de ordem P, cujos coeficientes são todos iguais a 1 P e uma média móvel simples de ordem Q, cujos coeficientes são todos iguais A 1 Q. Médias móveis assimétricas. Propriedades das médias móveis As médias móveis suavizam a série temporal. Quando aplicadas a uma série temporal, reduzem a amplitude das flutuações observadas e actuam como um filtro que remove os movimentos irregulares da mesma. As médias móveis com o padrão de ponderação apropriado podem ser usadas para eliminar ciclos de um certo comprimento na série temporal. No método de ajuste sazonal X-12-ARIMA são usados ​​diferentes tipos de médias móveis para estimar o ciclo tendencial e a componente sazonal. Se a soma dos coeficientes é igual a 1, então a média móvel preserva a tendência. As médias móveis têm dois padrões importantes: Eles não são robustos e podem ser profundamente afetados por outliers A suavização nas extremidades da série não pode ser feito, mas com médias móveis assimétricas que introduzem mudanças de fase e atrasos na detecção de pontos de viragem No método X11 , As médias móveis simétricas desempenham um papel importante, uma vez que não introduzem qualquer desvio de fase na série suavizada. Mas, para evitar a perda de informações nas extremidades da série, elas são complementadas por médias móveis assimétricas ad hoc ou aplicadas na série completada pelas previsões. Caixa à direita